图形面积分割问题专项练习

数学中有很多有趣的题，图形分割就是其中一种，请你展开想象的翅膀，来对下列图形进行巧妙的分割吧．

（1）请将一个等边三角形（图1）分割成形状面积都相同的3个部分．（2）接下来请将图2分割成形状面积都相同的4个部分．（此图由5个相同的正方形组成）（3）请将图3分割成形状面积相同的8个部分，（此图由三个相同的正方形组成）

2、某市要在一块平行四边形ABCD的空地上建造一个四边形花园，要求花园所占面积是
面积的一半，并且把四边形花园的四个顶点作为出入口，要求分别在
中的四条边上，请你设计两种方案：

方案（一）：如图①所示，两个出入口
以确定，请在图①上画出符合要求的四边形花园，并简要说明画法；

方案（二）：如图②所示，一个出入口
已确定，请在图②上画出符合要求的梯形花园，并简要说明画法

3、如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线．如：平行四边形的一条对线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线．

（1）三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的有___；

（2）三角形有　 　条面积等分线，平行四边形有　  　条面积等分线；（3）如图①所示，在矩形中剪去一个小正方形，请画出这个图形的一条面积等分线；

（4）如图1，梯形ABCD中，AB∥DC，如果延长DC到E，使CE＝AB，连接AE，那么有S梯形ABCD＝S△ADE．请你给出这个结论成立的理由，并过点A作出梯形ABCD的面积等分线（不写作法，保留作图痕迹）；

（5）如图，四边形ABCD中，AB与CD不平行，S△ADC＞S△ABC，过点A能否作出四边形ABCD的面积等分线？若能，请画出面积等分线，并给出证明；若不能，说明理由．

4、如图①所示，已知直线m∥n，A，B为直线n上的两点，C，D为直线m上的两点．

（1）写出图中面积相等的各对三角形；

（2）如果A，B，C为三个定点，点D在m上移动，那么无论D点移动到任何位置，总有与△ABC的面积相等，理由是；解决以下问题：如图②所示，五边形ABCDE是张大爷十年前承包的一块土地的示意图，经过多年开垦荒地，现已变成如图③所示的形状，但承包土地与开垦荒地的分界小路（即图中的折线CDE）还保留着．张大爷想过E点修一条直路，使直路左边的土地面积与承包时的一样多，右边的土地面积与开垦荒地面积一样多．请你用相关的几何知识，按张大爷的要求设计出修路方案．（不计分界小路与直路的占地面积）

（3）写出设计方案，并在图③中画出相应的图形；

（4）说明方案设计的理由．

6、提出问题：如图，有一块分布均匀的等腰三角形蛋糕（AB=BC，且BC≠AC），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）．背景介绍：这条分割直线即平分了三角形的面积，又平分了三角形的周长，我们称这条线为三角形的“等分积周线”．尝试解决：

（1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出．请你帮小明在图1中画出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕．

（2）小华觉得小明的方法很好，所以自己模仿着在图1中过点C画了一条直线CD交AB于点D．你觉得小华会成功吗如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由．

（3）通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识．请你解决下面的问题：若AB=BC=5 cm，AC=6 cm，请你找出△ABC的所有“等分积周线”，并简要的说明确定的方法．

7.把一个正六边形分割成八个形状相同,面积相等的图形怎么分

8.. 课本的作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成三张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？请画示意图说明剪法.

9．（10分）（2014?随州）已知两条平行线l₁、l₂之间的距离为6，截线CD分别交l₁、l₂于C、D两点，一直角的顶点P在线段CD上运动（点P不与点C、D重合），直角的两边分别交l₁、l₂与A、B两点．

（1）操作发现

如图1，过点P作直线l₃∥l₁，作PE⊥l₁，点E是垂足，过点B作BF⊥l₃，点F是垂足．此时，小明认为△PEA∽△PFB，你同意吗？为什么？

（2）猜想论证

将直角∠APB从图1的位置开始，绕点P顺时针旋转，在这一过程中，试观察、猜想：当AE满足什么条件时，以点P、A、B为顶点的三角形是等腰三角形？在图2中画出图形，证明你的猜想．

（3）延伸探究

在（2）的条件下，当截线CD与直线l₁所夹的钝角为150°时，设CP=x，试探究：是否存在实数x，使△PAB的边AB的长为
？请说明理由．

参：

解：(1)画图如下

当AD=AE时，2x+x=30+30,∴x=20; .…………………………4分

当AD=DE时，30+30+2x+x=180，∴x=40; .…………………………5分

当AE=DE时，不存在，

∴∠C=20°或40°；.…………………………6分

（3）如图，CD、CE就是所求的三分线．

设∠B=α，则∠DCB=∠DCA=∠EAC=α，∠ADE=∠AED=2α，.………………………8分

设AE=AD=x,BD=CD=y,

∵△AEC∽△BDC，

∴x:y=2:3，.…………………………10分

又∵△ACD∽△ABC，

∴2：x=(x+y:2,

在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，把像这样的三角形叫做黄金三角形．

（1）请你设计三种不同的分法，将黄金三角形ABC分割成三个等腰三角形，使得分割成的三角形中含有两个黄金三角形（画图工具不限，要求画出分割线段；标出能够说明不同分法所得三角形的内角度数，不要求写画法，不要求证明．分别画在图1，图2，图3中）

注：两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法．

（2）如图4中，BF平分∠ABC交AC于F，取AB的中点E，连接 EF并延长交 BC的延长线于M．试判断CM与AB之间的数量关系？只需说明结果，不用证明．

答：CM与AB之间的数量关系是

CM=AB

（1）黄金三角形是一个等腰三角形，它的顶角为36°，每个底角为72°．它的腰与它的底成黄金比．当底角被平分时，角平分线分对边也成黄金比，并形成两个较小的等腰三角形．这两三角形之一相似于原三角形．依此作图即可．

（2）连接AM，根据黄金三角形的性质即可得出CM与AC之间的数量关系，从而得出CM与AB之间的数量关系．

（1）

（3分）（2）CM=AB（4分）